Question

已知f（x）=

(3-a)x-a    ，(x＜1) logax ，(x≥1)

是（-∞，+∞）上的增函数，那么a的取值范围是（　　）

• A．[

  3

  2

  ，3）
• B．（0，3）
• C．（1，3）
• D．（1，+∞）

Answer 1

分析：由x＜1时，f（x）=（3-a）x-a是增函数解得a＜3；由x≥1时，f（x）=log_ax是增函数，解得a＞1．再由f（1）=log_a1=0，（3-a）x-a=3-2a，知a≥

3

2

．由此能求出a的取值范围．

解答：解：∵f（x）=

(3-a)x-a，x＜1 logax，x≥1

是（-∞，+∞）上的增函数，∴x＜1时，f（x）=（3-a）x-a是增函数
∴3-a＞0，解得a＜3；
x≥1时，f（x）=log_ax是增函数，解得a＞1．
∵f（1）=log_a1=0
∴x＜1时，f（x）＜0
∵x=1，（3-a）x-a=3-2a
∵x＜1时，f（x）=（3-a）x-a递增
∴3-2a≤f（1）=0，解得a≥

3

2

．
所以

3

2

≤a＜3．
故选A．

点评：本题考查函数的单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，易错点是分段函数的分界点处单调性的处理．