Question

16．已知函数f（x）=x²-mx-m+3，m∈R．
（1）当m=3时，求函数f（x）的零点；
（2）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；
（3）若函数f（x）的一个零点在区间（0，1）上，另一个零点在区间（1，2）上，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）解方程x²-3x=0即可．
（2）求解△=m²-4（-m+3）＜0即可．
（3）根据二此函数性质得出得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＜0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，求解即可．

解答 解：（1）当m=3，f（x）=x²-3x，
解方程x²-3x=0得：x=0，或x=3
所以当m=3时，求函数f（x）的零点为x=0，和x=3，
（2）由函数f（x）没有零点，知函数f（x）=x²-mx-m+3，m∈R．
与x轴无交点△=m²-4（-m+3）＜0，
∴m²+6m-12＜0，
∴-6＜m＜2
实数m的取值范围是{m|-6＜m＜2}
（3）有题意得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）＞0}\\{f（1）＜0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m+3＞0}\\{1-m-m+3＜0}\\{4-2m-m+3＞0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＜3}\\{m＞2}\\{m＜\frac{7}{3}}\end{array}\right.$，
∴{m|2$＜m＜\frac{7}{3}$   }
  实数m的取值范围是{m|2$＜m＜\frac{7}{3}$   }

点评 本题把二次函数与二次方程有机的结合了起来，有方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点，也就是求函数的图象与x轴的交点的横坐标