Question

7．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是C上两动点，且∠AFB=α（α为常数），线段AB中点为M，过点M作l的垂线，垂足为N，若$\frac{|AB|}{|MN|}$的最小值为1，则α=（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{π}{3}$
• D． $\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|²=a²+b²-2abcosα，再根据$\frac{|AB|}{|MN|}$的最小值为1，即可得到答案．

解答 解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，
设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，
|AB|²=a²+b²-2abcosα，
∵$\frac{|AB|}{|MN|}$的最小值为1，
∴a²+b²-2abcosα≥$\frac{（a+b）^{2}}{4}$，α=$\frac{π}{3}$时，不等式恒成立．
故选：C．

点评 本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题．