Question

设、分别是椭圆 的左、右焦点，．

（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值;

（Ⅱ）若C为椭圆上异于B一点，且，求的值；

（Ⅲ）设P是该椭圆上的一个动点，求的周长的最大值.

 

Answer 1

（1）-2,1；（2）-7；（3）8.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的方程，求出焦点的坐标，化简的解析式为，结合x∈[-2，2]，求得它的最值．

（Ⅱ）设，由，用λ 表示 ，把代入椭圆的方程求得λ值．

（Ⅲ）因为，可得△PBF1的周长．

试题解析：（Ⅰ）易知

所以，设，则

因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值

当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值

（Ⅱ）设C（）， 由得

，

又所以有解得

（Ⅲ）因为|P|＋|PB|＝4－|PF2|＋|PB|≤4＋|BF2|，

∴的周长≤4＋|BF2|＋|B|≤8．

所以当P点位于直线BF2与椭圆的交点处时，周长最大，最大值为8.

考点：椭圆的定义、性质的应用.