Question

18．已知直线y=ax与圆C：x²+y²-2ax-2y+2=0交于两点A，B，且△CAB为等边三角形，则圆C的面积为（　　）

• A． 49π
• B． 36π
• C． 7π
• D． 6π

Answer 1

分析 根据△ABC为等边三角形，得到圆心到直线的距离为Rsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{{a}^{2}-1}$，根据点到直线的距离公式即可得到结论．

解答 解：圆C：x²+y²-2ax-2y+2=0，即（x-a）²+（y-1）²=a²-1的圆心C（a，1），半径R=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
∵直线和圆相交，△ABC为等边三角形，
∴圆心到直线的距离为Rsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
即d=$\frac{|{a}^{2}-1|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
解得a²=7，
∴圆C的面积为4πr²=6π．
故选：D．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据△ABC为等边三角形，得到圆心到直线的距离是解决本题的关键．