Question

18．如图，正四棱锥P-ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则异面直线PA与BE所成的角为60^°．

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．设AB=a，则a²=6，解得a=$\sqrt{6}$．又$\frac{1}{3}×6×OP$=2，解得OP=1．再利用向量夹角公式、数量积运算性质即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
设AB=a，则a²=6，解得a=$\sqrt{6}$．
又$\frac{1}{3}×6×OP$=2，解得OP=1．
∴A（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），P（0，0，1），B（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），C（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），E$（-\frac{\sqrt{6}}{4}，\frac{\sqrt{6}}{4}，\frac{1}{2}）$．
∴$\overrightarrow{PA}$=$（\frac{\sqrt{6}}{2}，-\frac{\sqrt{6}}{2}，-1）$，$\overrightarrow{BE}$=$（-\frac{3\sqrt{6}}{4}，-\frac{\sqrt{6}}{4}，\frac{1}{2}）$．
∴cos$＜\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{BE}＞$=$\frac{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{BE}}{|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{BE}|}$=$\frac{-2}{\sqrt{4}×\sqrt{4}}$=-$\frac{1}{2}$．
∴$＜\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{BE}＞$=120^°．
∴异面直线PA与BE所成的角为60^°．
故答案为：60^°．

点评 本题考查了空间位置关系、异面直线所成的角、向量夹角公式、四棱锥的体积计算公式、数量积运算性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．