Question

15．已知等差数列{a_n}中a₂=5，前4项和为S₄=28；
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2ⁿ，T_n=a_nb₁+a_n-1b₂+a_n-2b₃+…+a₂b_n-1+a₁b_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设公差为d，首项为a₁，由a₂=5，前4项和为S₄=28，得到方程组，解得即可，
（Ⅱ）利用错位相减法即可求出T_n．

解答 解：（Ⅰ）设公差为d，首项为a₁，
由a₂=5，前4项和为S₄=28，得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}={a}_{1}+d=5}\\{{S}_{4}=4{a}_{1}+\frac{4（4-1）d}{2}=28}\end{array}\right.$，
解得a₁=1，d=4，
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3，
（Ⅱ）b_n=2ⁿ，T_n=a_nb₁+a_n-1b₂+a_n-2b₃+…+a₂b_n-1+a₁b_n，
∴T_n=（4n-3）×2+（4n-7）×2²+（4n-11）×2³+…+5×2^n-1+1×2ⁿ，
∴2T_n=（4n-3）×2²+（4n-7）×2³+（4n-11）×2⁴+…+5×2ⁿ+1×2ⁿ⁺¹，
∴T_n=-（4n-3）×2+4×2²+4×2³+4×2⁴+…+4×2ⁿ+1×2ⁿ⁺¹，
=-8n-2+4（2+2²+2³+2⁴+…+×2ⁿ）+2ⁿ⁺¹，
=-8n-2+4$•\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+2ⁿ⁺¹，
=-8n-10+5•2ⁿ⁺¹

点评 本题主要考察等差数列和等比数列的综合问题．解决这类问题的关键在于熟练掌握基础知识，基本方法．并考察计算能力．