Question

已知sinα=

4

5

，α∈(0，π)，cosβ=-

5

13

，β是第三象限角，求cos（α-β）的值．

Answer 1

分析：根据题意，分情况讨论：①当α∈[

π

2

，π）时，根据sinα=

4

5

，求得 cosα 的值．又由cosβ=-

5

13

，β是第三象限角，求得sinβ 的值，由cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ求的结果．②当α∈（0，

π

2

）时，同理求的cos（α-β ）的值．

解答：解：①当α∈[

π

2

，π）时，且sinα=

4

5

，得cosα=-

1-sin2a

=-

1-( 4 5 )2

=-

3

5

，
又由cosβ=-

5

13

，β是第三象限角，得sinβ=-

1-cos2β

=-

1-(- 5 13 )2

=-

12

13

．
所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=(-

3

5

)×(-

5

13

)+

4

5

×(-

12

13

)=-

33

65．

．
②当α∈（0，

π

2

）时，且sinα=

4

5

，得cosα=

1-sin2a

=

1-( 4 5 )2

=

3

5

，
又由cosβ=-

5

13

，β是第三象限角，得sinβ=-

1-cos2β

=-

1-(- 5 13 )2

=-

12

13

．
所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=

3

5

×(-

5

13

)+

4

5

×(-

12

13

)=-

63

65

．

点评：本题考查两角和差的余弦公式的应用，同角三角函数的基本关系，体现了分类讨论的数学思想，分类讨论 是解题的关键．