Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过点M（1，0）的直线1交椭圆C于A，B两点，|MA|=λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|=$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若λ∈[$\frac{1}{2}$，2]，求弦长|AB|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先由离心率得到a，b的关系，再由求出b，再由直线l垂直于x轴时，|AB|=$\sqrt{2}$求得关于a，b的另一方程，联立求得a，b的值，则椭圆的标准方程可求；
（2）设AB的方程y=k（x-1），将直线的方程代入椭圆的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合根系数的关系，利用向量坐标公式及函数的单调性即可求得直线AB的斜率的取值范围，从而求得弦长|AB|的取值范围．

解答 解：（1）由题意可得，$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$，则a²=2b²，①
把x=1代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，得y=$±\frac{b}{a}\sqrt{{a}^{2}-1}$，
则$\frac{2b}{a}\sqrt{{a}^{2}-1}=\sqrt{2}$，②
联立①②得：a²=2，b²=1．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）如图，当直线l的斜率存在时，设直线l方程为y=k（x-1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）y²+2ky-k²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-2k}{1+2{k}^{2}}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{-{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，③
由|MA|=λ|MB|，得$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{MB}$，
∴（1-x₁，-y₁）=λ（x₂-1，y₂），则-y₁=λy₂，④
把④代入③消去y₂得：$\frac{4}{1+2{k}^{2}}=λ+\frac{1}{λ}-2$，
当λ∈[$\frac{1}{2}$，2]时，$\frac{4}{1+2{k}^{2}}=λ+\frac{1}{λ}-2$∈[0，$\frac{1}{2}$]．
解得：${k}^{2}≥\frac{7}{2}$．
|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{{k}^{2}}}\sqrt{\frac{4{k}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}+\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}}$
=$2\sqrt{2}\frac{1+{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$2\sqrt{2}（1-\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）=2\sqrt{2}（1-\frac{1}{2+\frac{1}{{k}^{2}}}）$$∈（\sqrt{2}，\frac{9\sqrt{2}}{8}]$．
∴弦长|AB|的取值范围为$[\sqrt{2}，\frac{9\sqrt{2}}{8}]$．

点评 本题主要考查了椭圆的定义和标准方程、直线与圆锥曲线的综合问题、平面向量的运算等．直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，突出考查了数形结合、函数与方程、等价转化等数学思想方法．