已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$的右焦点是抛物线y2=4x的焦点.以原点O为圆心.椭圆的长半轴长为半径的圆与直线x+y-2$\sqrt{2}$=0相切．(1)求椭圆C的标准方程,(2)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于P.Q两点.且△POQ的面积为定值$\sqrt{3}$.试判断直线OP与OQ的斜率之积是否为定值?若为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的右焦点是抛物线y²=4x的焦点，以原点O为圆心，椭圆的长半轴长为半径的圆与直线x+y-2$\sqrt{2}$=0相切．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于P，Q两点，且△POQ的面积为定值$\sqrt{3}$，试判断直线OP与OQ的斜率之积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请说明理由．

分析（1）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，可得c值，再由点到直线的距离公式求得a，由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式求得|PQ|，再由点到直线的距离公式求得O到直线l的距离，结合△POQ的面积为定值$\sqrt{3}$求得k与m的关系，代入斜率公式可得直线OP与OQ的斜率之积是否为定值．

解答解：（1）由y²=4x，得p=2，则$\frac{p}{2}=1$，∴c=1，
再由点到直线的距离公式得a=$\frac{|-2\sqrt{2}|}{\sqrt{1+1}}=2$，
∴b²=a²-c²=3，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，即3+4k²-m²＞0，
${x_1}+{x_2}=-\frac{8mk}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4（{m^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}$，
${y_1}{y_2}=（k{x_1}+m）（k{x_2}+m）={k^2}{x_1}{x_2}+mk（{x_1}+{x_2}）+{m^2}=\frac{{3（{m^2}-4{k^2}）}}{{3+4{k^2}}}$，
∴$|PQ|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{{\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{48（4{k^2}-{m^2}+3）}}}{{3+4{k^2}}}$，
O到直线l的距离$d=\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，
∴${S_{△POQ}}=\sqrt{3}=\frac{1}{2}|PQ|\;•\;d=\frac{1}{2}\frac{{\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{48（4{k^2}-{m^2}+3）}}}{{3+4{k^2}}}\;•\;\frac{|m|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，可得2m²-4k²=3．
则${k_{OP}}\;•\;{k_{OQ}}=\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{3（{m^2}-4{k^2}）}}{{4（{m^2}-3）}}=-\frac{3}{4}$，
∴k_OP•k_OQ为定值$-\frac{3}{4}$．