Question

14．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠BCD=120°，四边形BFED为矩形，BF=1，平面BFED⊥平面ABCD．
（1）求证：AD⊥平面BFED；
（2）已知点P在线段EF上，$\frac{EP}{PF}$=2，求三棱锥E-APD的体积．

Answer 1

分析 （1）求出AB=2，BD=$\sqrt{3}$，从而推导出AD⊥BD，再求出DE⊥AD，由此能证明AD⊥平面BFED．
（2）由V_E-APD=V_P-ADE，能求出三棱锥E-APD的体积．

解答 证明：（1）在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=1，∠BCD=120°，
∴AB=2，
∴BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos60°=3，
∴AB²=AD²+BD²，∴AD⊥BD，
又∵平面BFED⊥平面ABCD，四边形BFED为矩形，
∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AD，
∴AD⊥平面BFED．
解：（2）由（1）知BD⊥平面ADE，
∵BD∥EF，∴PE⊥平面ADE，且PE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴V_E-APD=V_P-ADE=$\frac{1}{3}×{S}_{△ADE}×PE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
∴三棱锥E-APD的体积为$\frac{\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．