Question

12．设集合A={x|ax²+bx+1=0}（a∈R，b∈R），集合B={-1，1}．
（Ⅰ）若B⊆A，求实数a的值；
（Ⅱ）若A∩B≠∅，求a²-b²+2a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，分析可得A={-1，1}，进而由韦达定理计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意，分2种情况讨论：1°若1∈A，分析可得a+b=-1，进而可得a²-b²+2a=（a+b）（a-b）+2a=-（a-b）+2a=a+b，即可得答案；2°若-1∈A，分析可得a-b=-1，进而可得a²-b²+2a=（a+b）（a-b）+2a=-（a+b）+2a=a-b，代入数据即可得答案．

解答 解：（Ⅰ）由于B⊆A，且B={-1，1}，
而集合A中最多有2个元素，故A={-1，1}；                 …（4分）
由韦达定理得：$\frac{1}{a}=1×（{-1}）∴a=-1$…（7分）
（Ⅱ）根据题意，分2种情况讨论：
1°若1∈A，则a+b=-1，…（9分）
所以  a²-b²+2a=（a+b）（a-b）+2a=-（a-b）+2a=a+b=-1…（11分）
2°若-1∈A，则a-b=-1，…（13分）
所以a²-b²+2a=（a+b）（a-b）+2a=-（a+b）+2a=a-b=-1
综上，a²-b²+2a=-1…（15分）

点评 本题考查集合的包含关系的运用，涉及集合交集的运算及意义，考查分类讨论思想方法．