Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象过点（0，1），且f（x）＞0的解集是（-1，3），
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（sinα）+f（cosα）=

5

3

（0＜α＜π），求α的值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据题意得出c=1，方程ax²+bx+c=0的2根为x=-1．x=3，可求出a=-

1

3

，b=

2

3

，得出解析式，
（2）代入解析式得出-

1

3

+

2

3

（sinα+cosα）+2=

5

3

，sinα+cosα=0，tanα=-1，求解即可．

解答： 解：（1）∵二次函数f（x）=ax²+bx+c的图象过点（0，1），且f（x）＞0的解集是（-1，3），
∴c=1，方程ax²+bx+c=0的2根为x=-1．x=3，

1

a

=-3，-

b

a

=2，
即a=-

1

3

，b=

2

3

，
f（x）=-

1

3

x2+

2

3

x+1
（2）∵f（sinα）+f（cosα）=

5

3

（0＜α＜π），
∴-

1

3

+

2

3

（sinα+cosα）+2=

5

3

，
即：sinα+cosα=0，tanα=-1，
∵0＜α＜π，∴α=

3π

4

．

点评：本题考查了三角函数与二次函数，二次方程，不等式的关系，运用算化简求值，属于中档题．