Question

3．已知函数f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=xf（x）+mx在区间（0，e]上的最大值为-3，求m的值；
（3）若x≥1时，有不等式f（x）≥$\frac{k}{x+1}$恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的定义域，函数的导数，求出极值点，判断导函数符号，然后求解单调区间．
（2）求出$g'（x）=m+\frac{1}{x}$，x∈（0，e]，通过①若m≥0，②若m＜0，判断函数的单调性，求解函数的最值，然后求m．
（3）利用x≥1时，$f（x）≥\frac{k}{x+1}$恒成立，分离变量，构造函数$h（x）=lnx+\frac{lnx}{x}+\frac{1}{x}+1$，利用函数的导数，求解函数的最值，推出结果即可．

解答 解：（1）易知f（x）定义域为（0，+∞），$f'（x）=-\frac{lnx}{x^2}$，令f'（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数．
（2）∵g（x）=1+lnx+mx，$g'（x）=m+\frac{1}{x}$，x∈（0，e]，
①若m≥0，则g'（x）≥0，从而g（x）在（0，e]上是增函数，∴g（x）_max=g（e）=me+2≥0，不合题意．
②若m＜0，则由g'（x）＞0，即$0＜x＜-\frac{1}{m}$，若$-\frac{1}{m}≥e$，g（x）在（0，e]上是增函数，
由①知不合题意．
由g'（x）＜0，即$-\frac{1}{m}＜x≤e$．
从而g（x）在$（0，-\frac{1}{m}）$上是增函数，在$（-\frac{1}{m}，e]$为减函数，
∴$g{（x）_{max}}=g（-\frac{1}{m}）=ln（-\frac{1}{m}）$，令ln（$-\frac{1}{m}$）=-3，所以m=-e³，
∵$-\frac{1}{m}=\frac{1}{e^3}＜e$，∴所求的m=-e³．
（3）∵x≥1时，$f（x）≥\frac{k}{x+1}$恒成立，∴k≤（x+1）f（x）=lnx+$\frac{lnx}{x}$+$\frac{1}{x}$+1，
令$h（x）=lnx+\frac{lnx}{x}+\frac{1}{x}+1$，
∴$h'（x）=\frac{x-lnx}{x^2}$恒大于0，
∴h（x）在[1，+∞）为增函数，
∴h（x）_min=h（1）=2，∴k≤2．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值以及函数的单调性的判断，构造法的应用，考查转化思想以及分类讨论思想的应用．