Question

16．设双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的渐近线与抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}+2$相切，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{6}$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，联立抛物线方程，运用相切的条件：判别式为0，可得b=2a，再由a，b，c的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
渐近线与抛物线$y=\frac{1}{2}{x^2}+2$相切，
可得$\frac{1}{2}$x²±$\frac{b}{a}$x+2=0，
由△=（$\frac{b}{a}$）²-4×$\frac{1}{2}$×2=0，
可得b=2a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
即离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率，同时考查直线和抛物线相切的条件：判别式为0，考查方程思想和运算能力，属于中档题．