Question

3．设等差数列{a_n}的前n项和为Sn，公差为d，已知（a₅-1）²⁰¹⁵+2016a₅+（a₅-1）²⁰¹⁷=2008，（a₁₁-1）²⁰¹⁵+2016a₁₁+（a₁₁-1）²⁰¹⁷=2024，则下列命题是真命题的是（　　）

• A． S₁₅=22，d＜0
• B． S₁₅=22，d＞0
• C． S₁₅=15，d＜0
• D． S₁₅=15，d＞0

Answer 1

分析 由已知得，（a₅-1）²⁰¹⁵+2016（a₅-1）+（a₅-1）²⁰¹⁷=-8，（a₁₁-1）²⁰¹⁵+2016（a₁₁-1）+（a₁₁-1）²⁰¹⁷=8．
构造函数f（x）=x²⁰¹⁵+2016x+x²⁰¹⁷可知函数f（x）是奇函数，且在R上单增即可得a₅-1+a₁₁-1=0，a₅＜a₁₁

解答 解：由（a₅-1）²⁰¹⁵+2016a₅+（a₅-1）²⁰¹⁷=2008得，（a₅-1）²⁰¹⁵+2016（a₅-1）+（a₅-1）²⁰¹⁷=-8，
由（a₁₁-1）²⁰¹⁵+2016a₁₁+（a₁₁-1）²⁰¹⁷=2024得，（a₁₁-1）²⁰¹⁵+2016（a₁₁-1）+（a₁₁-1）²⁰¹⁷=8．
构造函数f（x）=x²⁰¹⁵+2016x+x²⁰¹⁷可知函数f（x）是奇函数，且在R上单增，∵f（a₅-1）=-8，f（a₁₁-1）=8
∴．a₅-1+a₁₁-1=0，∴．a₅+a₁₁=2．∴a₅＜a₁₁，公差为d＞0，S₁₅=$\frac{15}{2}（{a}_{5}+{a}_{11}）=15$．
故选D．

点评 本题考查了函数与数列的综合应用，构造函数是关键，属于中档题．