Question

已知函数f（x）=2sin（ωx-φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的最小正周期为π，且

π

6

是它的一个零点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若α，β∈[0，

π

2

]，f（

a

2

+

5π

12

）=

2

，f（

β

2

+

π

6

）=

3

，求cos（α+β）的值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象,两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据函数的周期和零点求出ω，φ，即可求函数f（x）的解析式；
（2）利用两角和差的余弦公式进行求解即可．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=2sin（ωx-φ）（ω＞0，0＜φ＜

π

2

）的最小正周期为π，
∴

2π

ω

=π，解得ω=2，
则f（x）=2sin（2x-φ）           …（2分）
又

π

6

是它的一个零点，
即2×

π

6

-φ=kπ，…（4分）
则φ=

π

3

-kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜

π

2

             …（5分）
∴当k=0时，φ=

π

3

                                 …（6分）
故f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x-

π

3

）        …（7分）
（2）由（1）f（x）=2sin（2x-

π

3

） 
又∵f（

a

2

+

5π

12

）=

2

，f（

β

2

+

π

6

）=

3

∴sin（α+

π

2

）=

2

2

，sinβ=

3

2

                …（9分）
∴cosα=

2

2

，
又α，β∈[0，

π

2

]，
∴α=

π

4

，β=

π

3

，
则cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

2

2

×

1

2

-

2

2

×

3

2

=

2 - 6

4

                                      …（12分）

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出函数f（x）的解析式是解决本题的关键．