Question

20．已知抛物线C：y²=4x．直线l：y=k（x-8）与抛物线C交于A，B（A在B的下方）两点，与x
轴交于点P．
（1）若点P恰为弦AB的三等分点，试求实数k的值．
（2）过点P与直线l垂直的直线m与抛物线C交于点M，N，试求四边形AMBN的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨设$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{PA}$，求出A的坐标，利用斜率公式，求实数k的值．
（2）直线l：y=k（x-8）与抛物线方程联立得：k²x²-（16k²+4）x+64k²=0，由弦长公式求出|AB|、|MN|，由四边形AMBN的面积S=$\frac{1}{2}$|AB||MN|，利用基本不等式能求出四边形AMBN面积最小值．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨设$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{PA}$，
∵P（8，0），
∴（8-x₂，-y₂）=2（x₁-8，y₁），
∴8-x₂=2x₁-8，-y₂=2y₁，
∴8-x₂=2x₁-8，x₂=4x₁，
∴x₁=$\frac{8}{3}$，x₂=4x₁=$\frac{32}{3}$
∴A（$\frac{8}{3}$，-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$），
∴k=$\frac{0+\frac{4\sqrt{6}}{3}}{8-\frac{8}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
根据对称性，k=-$\frac{\sqrt{6}}{4}$，满足题意；
（2）直线l：y=k（x-8）与抛物线方程联立得：k²x²-（16k²+4）x+64k²=0，
∴x₁+x₂=16+$\frac{4}{{k}^{2}}$，x₁x₂=64，
由弦长公式|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{（16+\frac{4}{{k}^{2}}）^{2}-256}$，
同理由弦长公式得|MN|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}•\sqrt{（16+4{k}^{2}）^{2}-256}$，
所以四边形AMBN的面积S=$\frac{1}{2}$|AB||MN|=8$\sqrt{（65+8{k}^{2}+\frac{8}{{k}^{2}}）（2+{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}）}$≥8$\sqrt{（65+16）（2+2）}$=144，
当k=±1时，取“=”．
故四边形AMBN面积最小值为144．

点评 本题考查抛物线方程的求法，探究实数k的值，考查四边形面积最小值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．