Question

3．正项等比数列{a_n}满足：a₃=a₂+2a₁，若存在a_m，a_n，使得a_m•a_n=64a${\;}_{1}^{2}$，则$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值为2．

Answer 1

分析 求出公比为2，利用等比数列{a_n}中存在两项a_m，a_n，使得a_ma_n=64a₁²，可得2^m+n-2=2⁶，化为m+n=8．再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵正项等比数列{a_n}满足：a₃=a₂+2a₁，
∴q²-q-2=0，
∴公比为q=2，
∵等比数列{a_n}中存在两项a_m，a_n，使得a_ma_n=64a₁²，a₁≠0，
∴2^m+n-2=2⁶，
∴m+n=8．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$=$\frac{1}{8}$（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$）=$\frac{1}{8}$（10+$\frac{n}{m}$+$\frac{9m}{n}$）≥$\frac{1}{8}$（10+6）=2，当且仅当n=3m=6时取等号．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．