Question

1．已知函数f（x）=ln（x²+1），g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}-1}$+a．
（1）若f（x）的一个极值点到直线l：2$\sqrt{2}$x+y+a+5=0的距离为1，求a的值；
（2）求方程f（x）=g（x）的根的个数．

Answer 1

分析 （I）根据曲线的解析式求出导函数，求出极值点，再用距离公式即可；
（II）设函数h（x）=f（x）-g（x），这个函数有几个零点就说明有几个根．然后利用导数研究函数单调性，并求出函数的最值，讨论最值的取值范围确定函数零点的个数即可求根的个数．

解答 解：（1）由f′（x）=x2+1（2x）=0，得x=0，
故f（x）仅有一个极小值点M（0，0），
根据题意得：d=3（|5+a|）=1．∴a=-2或a=-8．
（2）令h（x）=f（x）-g（x）=ln（x2+1）-x2-1（1）-a，
h′（x）=x2+1（2x）+x2-1（2x）=2xx2-1（1）．
当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（x）≥0，
当x∈（-∞，-1）∪（-1，0）时，h′（x）＜0．
因此，h（x）在（-∞，-1），（-1，0）上时，h（x）单调递减，
在（0，1），（1，+∞）上时，h（x）单调递增．
又h（x）为偶函数，当x∈（-1，1）时，h（x）的极小值为h（0）=1-a．
当x→-1-时，h（x）→-∞，当x→-1+时，h（x）→+∞，
当x→-∞时，h（x）→+∞，当x→+∞时，h（x）→+∞．
故f（x）=g（x）的根的情况为：
当1-a＞0时，即a＜1时，原方程有2个根；
当1-a=0时，即a=1时，原方程有3个根．
当1-a＜0时，即a＞1时，原方程有4个根．

点评 本题考查利用导函数来研究函数的极值，利用导数研究函数单调性的从而判定方程的根的个数，转化思想是关键，属于中档题．