Question

19．已知非零向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$满足（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，且$\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}$=$\frac{1}{2}$，则△ABC的形状是（　　）

• A． 三边均不相等的三角形
• B． 直角三角形
• C． 等腰（非等边）三角形
• D． 等边三角形

Answer 1

分析 先根据（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}$）•$\overrightarrow{BC}$=0判断出∠A的角平分线与BC垂直，进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C，判断出三角形的形状．

解答 解：∵（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}$）•$\overrightarrow{BC}$=0，$\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}$，$\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}$分别为单位向量，
∴∠A的角平分线与BC垂直，
∴AB=AC，
∵cosA=$\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}$•$\frac{\overrightarrow{AC}}{|AC|}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=$\frac{π}{3}$，
∴∠B=∠C=∠A=$\frac{π}{3}$，
∴三角形为等边三角形．
故选：D．

点评 本题主要考查了平面向量的数量积的运算，三角形形状的判断．考查了学生综合分析能力，属于中档题．