题目内容

当x∈[-1，1]时不等式ax+1＞0恒成立，则实数a的取值范围是
（-1，1）
（-1，1）
．
分析：x∈[-1，1]时不等式ax+1＞0恒成立，即ax＞-1恒成立．所以x∈[-1，1]时，ax的最小值大于-1．由此进行分类讨论，能求出实数a的取值范围．
解答：解：∵x∈[-1，1]时不等式ax+1＞0恒成立，即ax＞-1恒成立．
∴x∈[-1，1]时，ax的最小值大于-1．
∵x∈[-1，1]，
∴①当a=0时，（ax）min=0＞-1成立，∴a=0；
②当a＞0时，在x=-1时，（ax）min=-a＞-1，∴0＜a＜1；
③当a＜0时，在x=1时，（ax）min=a＞-1，∴-1＜a＜0．
综上所述：-1＜a＜1．
故实数a的取值范围是（-1，1）．
故答案为：（-1，1）．
点评：本题考查函数的恒成立问题的应用，解题时要认真审题，注意不等式的性质的灵活运用．
练习册系列答案
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已知曲线f（x）=x3-3ax（a∈R），直线y=-x+m，m∈R
（Ⅰ）当a=
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时，且曲线f（x）与直线有三个交点，求m的取值范围
（Ⅱ）若对任意的实数m，直线与曲线都不相切，
（ⅰ）试求a的取值范围；
（ⅱ）当x∈[-1，1]时，曲线f（x）的图象上是否存在一点P，使得点P到x轴的距离不小于
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．试证明你的结论．
已知函数f（x）=x2+ax+b．
（1）若对任意的实数x，都有f（x）≥2x+a，证明：b≥1；
（2）当x∈[-1，1]时，f（x）的最大值为b-a+1，求a的取值范围；
（3）若a=-2，关于x的方程|f（x）|=1有4个不相等的实数根，求b的取值范围．
函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），当x∈[-1，1]时，f（x）=x2，则y=f（x）的图象与y=1og2x的图象的交点共有（　　）
已知函数f（x）=ax，g（x）=a2x+m，其中m＞0，a＞0且a≠1．当x∈[-1，1]时，y=f（x）的最大值与最小值之和为
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．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若a＞1，记函数h（x）=g（x）-2mf（x），求当x∈[0，1]时h（x）的最小值H（m）； 
（Ⅲ）若a＞1，且不等式|
f(x)-mg(x)
f(x)
|≤1在x∈[0，1]恒成立，求m的取值范围．
已知函数f（x）=ax，g（x）=a2x+m，其中m＞0，a＞0且a≠1．当x∈[-1，1]时，y=f（x）的最大值与最小值之和为
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．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若a＞1，记函数h（x）=g（x）-2mf（x），求当x∈[0，1]时，h（x）的最小值H（m）．

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