Question

5．已知A={x|x²-5x+4≤0}，B={x|x²-2ax+a+2≤0}，且B⊆A，则a的取值范围为（　　）

• A． [2，$\frac{18}{7}$]
• B． （-1，$\frac{18}{7}$]
• C． （-∞，$\frac{18}{7}$]
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 化简集合A，B，根据B⊆A，建立条件关系即可求实数a的取值范围．

解答 解：由题意：A={x|x²-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}，B={x|x²-2ax+a+2≤0}
∵B⊆A，
∴当B=∅时，满足题意，此时x²-2ax+a+2≤0无解，△＜0，4a²-4（a+2）＜0，
解得：-1＜a＜2．
当B≠∅时，要使B⊆A成立，此时令f（x）=x²-2ax+a+2≤0有解，
根据二次函数根的分布，可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）≥0}\\{f（4）≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{1-2a+a+2≥0}\\{16-8a+a+2≥0}\end{array}\right.$
解得：a≤$\frac{18}{7}$，
综上可得：a≤$\frac{18}{7}$，
故选C．

点评 本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，利用到了二次函数根的分布来求解集合关系中的参数问题，难度中档．