题目内容
市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域是半径为R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB=AD=4万米，BC=6万米，CD=2万米．（Ⅰ）求原棚户区建筑用地ABCD中对角A，C两点的距离；
（Ⅱ）请计算出原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆的半径R；
（Ⅲ）因地理条件的限制，边界AD，DC不能变更，而边界AB，BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P，使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．
考点：余弦定理
专题：应用题,解三角形
分析：（Ⅰ）由∠ABC+∠ADC=180°及余弦定理得：AC2=42+62-2×4×6cos∠ABC=42+22-2×2×4cos∠ADC，可求∠ABC=60°，在△ABC中再用余弦定理即可求得AC；
（Ⅱ）S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC，利用三角形面积公式即可求得；
（Ⅲ）S四边形APCD=S△ADC+S△APC，易求S△ADC，设AP=x，CP=y，则S△APC=
xysin60°=
xy，由余弦定理得：AC2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=28x2+y2-xy≥2xy-xy=xy，可求xy的最大值，从而可得S△APC的最大值，作AC的垂直平分线与圆弧ABC的交点即为点P．
（Ⅱ）S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC，利用三角形面积公式即可求得；
（Ⅲ）S四边形APCD=S△ADC+S△APC，易求S△ADC，设AP=x，CP=y，则S△APC=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
解答：
解：（Ⅰ）∠ABC+∠ADC=180°，
由余弦定理得：AC2=42+62-2×4×6cos∠ABC=42+22-2×2×4cos∠ADC，
∴cos∠ABC=
，
∵∠ABC∈（0，π），∴∠ABC=60°，∠ADC=120°，
∴AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos∠ABC=28，
∴AC=2
．即原棚户区建筑用地ABCD中对角A，C两点的距离为2
万米．
（Ⅱ）S四边形ABCD=
×4×6×sin60°+
×2×4×sin120°=8
（万平方米），
由正弦定理得：2R=
=
=
（万米），
∴R=
（万米）；
（Ⅲ）S四边形APCD=S△ADC+S△APC，
又S△ADC=
AD•CDsin120°=2
，
设AP=x，CP=y，则S△APC=
xysin60°=
xy，
由余弦定理得：AC2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=28x2+y2-xy≥2xy-xy=xy，
∴xy≤28，当且仅当x=y时取“=”，
∴S四边形APCD=2
+
xy≤2
+
×28=9
（万平方米），
∴作AC的垂直平分线与圆弧ABC的交点即为点P，最大面积为9
万平方米．
由余弦定理得：AC2=42+62-2×4×6cos∠ABC=42+22-2×2×4cos∠ADC，
∴cos∠ABC=
| 1 |
| 2 |
∵∠ABC∈（0，π），∴∠ABC=60°，∠ADC=120°，
∴AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos∠ABC=28，
∴AC=2
| 7 |
| 7 |
（Ⅱ）S四边形ABCD=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
由正弦定理得：2R=
| AC |
| sinB |
2
| ||||
|
4
| ||
| 3 |
∴R=
2
| ||
| 3 |
（Ⅲ）S四边形APCD=S△ADC+S△APC，
又S△ADC=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
设AP=x，CP=y，则S△APC=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
由余弦定理得：AC2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=28x2+y2-xy≥2xy-xy=xy，
∴xy≤28，当且仅当x=y时取“=”，
∴S四边形APCD=2
| 3 |
| ||
| 4 |
| 3 |
| ||
| 4 |
| 3 |
∴作AC的垂直平分线与圆弧ABC的交点即为点P，最大面积为9
| 3 |
点评：该题考查利用余弦定理解决实际问题，考查学生的运算求解能力，根据实际问题正确建立数学模型是解题关键．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
如图，平面EFGH为长方体ABCD-A1B1C1D1的截面，E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，EH∥A1D1，则四边形EFGH的形状是（ ）
2013年第三季度，国家电网决定对城镇居民用电计费标准作出调整，并根据用电情况将居民分为三类：第一类的用电区间在（0，170]，第二类在（170，260]，第三类在（260，+∞）（单位：千瓦时）．某小区共有1000户居民，现对他们的用电情况进行调查，得到频率分布直方图，如图所示．