Question

16．已知x，y，z为实数，且x+y+z=5，xy+yz+zx=3，则z的取值范围为$[-1，\frac{13}{3}]$．

Answer 1

分析 由x+y+z=5得y=5-z-x，代入xy+yz+zx=3z化简成关于x的一元二次方程，根据判别式与方程根的关系列出不等式，求出z的取值范围．

解答 解：∵x+y+z=5，∴y=5-z-x，
代入xy+yz+zx=3得，x（5-z-x）+z（5-z-x）+zx=3，
化简可得：x²+（z-5）x+（z²-5z+3）=0，
∴x是方程x²+（z-5）x+z²-5z+3=0的实根，
∴△=（z-5）²-4（z²-5z+3）≥0，即3z²-10z-13≤0，
∴（3z-13）（z+1）≤0，解得-1≤z≤$\frac{13}{3}$，
∴z的取值范围为$[-1，\frac{13}{3}]$，
故答案为：$[-1，\frac{13}{3}]$．

点评 本题考查了函数与方程的综合应用，一元二次方程根的问题，以及方程转化为不等式问题，属于中档题．