题目内容

14．过双曲线${x^2}-\frac{y^2}{2}=1$的一个焦点作直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有（　　）
A．4条B．3条C．2条D．1条

分析 当直线与双曲线左右各有一个交点时，弦长|AB|最小为实轴长2a=2，若|AB|=4，则这样的直线l有且仅有两条，当直线l与双曲线的一支有两个交点时，弦长|AB|最小为通径长$\frac{{2b}^{2}}{a}$=4，若|AB|=4，则这样的直线l有且仅有1条，数形结合即可．

解答 解：如图：当直线l与双曲线左右各有一个交点时，弦长|AB|最小为实轴长2a=2，
当直线l与双曲线的一支有两个交点时，弦长|AB|最小为通径长$\frac{{2b}^{2}}{a}$=4
根据双曲线的对称性可知，若|AB|=4，则当直线与双曲线左右各有一个交点时，
这样的直线可有两条，当直线与双曲线的一支有两个交点时，这样的直线只有1条，所以若|AB|=4，
则这样的直线有且仅有3条，
故选：B

点评 本题考查了双曲线的几何性质，特别是直线与双曲线相交时弦长的几何性质，在平时的学习中注意积累一些结论，对解决此类选择题很有好处．

练习册系列答案
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