Question

已知椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,且椭圆C过点P,以AP为直径的圆恰好过右焦点F2.

(1) 求椭圆C的方程;

(2) 若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点,试问:在x轴上是否存在两定点,使其到直线l的距离之积为1?若存在,请求出两定点坐标;若不存在,请说明理由.

　

Answer 1

 (1) 因为椭圆过点P,所以+=1,解得a2=2.由题知A(0,b),F2(c,0),

又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2,所以AF2⊥F2P,所以·=-1,即-·=-1,b2=c(4-3c).

而b2=a2-c2=2-c2,所以c2-2c+1=0,解得c=1,

故椭圆C的方程是+y2=1.

(2) ①当直线l斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+p,代入椭圆方程得

(1+2k2)x2+4kpx+2p2-2=0.

因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以

Δ=16k2p2-4(1+2k2)(2p2-2)=8(1+2k2-p2)=0,

即1+2k2=p2.

设在x轴上存在两点 (s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则

·==1,

即(st+1)k2+kp(s+t)=0(*)或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (**).

由(*)恒成立,得

解得或

而(**)不恒成立.

②当直线l斜率不存在时,直线方程为x=±时,

定点(-1,0),(1,0)到直线l的距离之积d1·d2=(-1)(+1)=1.

综上,存在两个定点(1,0),(-1,0),使其到直线l的距离之积为定值1.