题目内容

已知球O的半径为R，圆柱内接于球，当内接圆柱的体积最大时，高等于

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

A
分析：设球内接圆柱的高为h，圆柱底面半径为r，得圆柱体积V关于h的函数表达式：V（h）=πR²h- $\text{[math]}$ πh³（0＜h＜2R）．利用求导数的方法，讨论函数V（h）的单调性，可得当h= $\text{[math]}$ 时，V（h）取得最大值，得到本题的答案．
解答：设球内接圆柱的高为h，圆柱底面半径为r
则h²+（2r）²=（2R）²，得r²=R²- $\text{[math]}$ h²．（0＜h＜2R）
∴圆柱的体积为V（h）=πr²h=πh（R²- $\text{[math]}$ h²）=πR²h- $\text{[math]}$ πh³．（0＜h＜2R）
求导数，得V'（h）=πR²- $\text{[math]}$ πh²=π（R+ $\text{[math]}$ ）（R- $\text{[math]}$ ）
∴0＜h＜ $\text{[math]}$ 时，V'（h）＞0； $\text{[math]}$ ＜h＜2R时，V'（h）＜0
由此可得：V（h）在区间（0， $\text{[math]}$ ）上是增函数；在区间（ $\text{[math]}$ ，2R）上是减函数
∴当h= $\text{[math]}$ 时，V（h）取得最大值．
故选：A
点评：本题主要考查了球和圆柱的有关知识以及函数建模以及用导数这一工具求最值的方法，属于中档题．解题过程体现了高考考背景、考应用的导向．