Question

20．如图，D是△ABC边AB上的一点，△ACD内接于圆O，且∠CAD=∠BCD，E是CD的中点，BE的延长线交AC于点F，证明：
（1）BC是圆O的切线；
（2）$\frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}}$=$\frac{AF}{CF}$．

Answer 1

分析 （1）如图，连接CO与⊙O交于点G，连接GD．欲证明BC是圆O的切线，只需推知CG⊥BC即可；
（2）如图，过点D作AC的平行线交BF于H．构建相似三角形：∴△ABF∽△DBH，△ECF∽△EDH，由相似三角形的对应边成比例、切割线定理证得结论．

解答 证明：（1）如图，连接CO与⊙O交于点G，连接GD．
∵CG是⊙O的直径，
∴∠CDG=90°，
∴∠CGD+∠GCD=90°．
∵∠CAD=∠BCD=∠CGD，
∴∠BCD+∠GCD=90°，即CG⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；

（2）如图，过点D作AC的平行线交BF于H．
∵DH∥AC，
∴△ABF∽△DBH，△ECF∽△EDH，
∴$\frac{AB}{BD}=\frac{AF}{DH}$，$\frac{CF}{DH}=\frac{CE}{DE}$．
∵E是CD的中点，
∴CE=DE，
∴CF=DH．
∵BC与⊙O切于点C，BDA为⊙O的割线，
∴由切割线定理，得BC²=AB•BD，
∴$\frac{{A{B^2}}}{{B{C^2}}}=\frac{{A{B^2}}}{AB\;•\;BD}=\frac{AB}{BD}=\frac{AF}{CF}$．

点评 本题考查了与圆有关的比例线段，解题时，需要掌握切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及切割线定理，属于中档题，需要学生具备综合分析能力．