Question

4．下列说法一定正确的是（　　）

• A． lg（x²+$\frac{1}{4}$）＞lg x（x＞0）
• B． sin x+$\frac{1}{sinx}$≥2（x≠kπ，k∈Z）
• C． 函数 y=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，x∈（0，$\frac{3}{4}$）的最大值为$\frac{1}{2}$
• D． x²+1≥2|x|（x∈R）

Answer 1

分析 根据不等式的性质判断A，根据三角函数的范围判断B，根据导数的应用判断C，根据不等式的性质判断D．

解答 解：∵x＞0，∴x²+$\frac{1}{4}$-x=（x-$\frac{1}{2}$）²≥0，
∴x²+≥x，∴lg（x²+$\frac{1}{4}$）≥lgx，故A不成立；
当-1＜sinx＜0时，sinx+$\frac{1}{sinx}$＜0，
∴sinx+$\frac{1}{sinx}$≥2（x≠kπ，k∈Z）不成立，故B不成立；
y=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，x∈（0，$\frac{3}{4}$），y′=$\frac{-（x+1）（x-1）}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$＞0，
函数在x∈（0，$\frac{3}{4}$）递增，无最大值，故C不成立；
x²+1≥2|x|，当且仅当x=±1时，取得等号．故D一定成立；
故选：D．

点评 本题考查不等式大小的比较，不等式大小比较是高考中的常考题，类型较多，根据题设选择比较的方法是解题的关键．