Question

7．已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）=lnx-ax（a$＞\frac{1}{2}$），当x∈（-2，0）时，f（x）的最小值为1，则a的值为（　　）

• A． -2
• B． 2
• C． -1
• D． 1

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性，确定f（x）在（0，2）上的最大值为-1，判断f（x）在（0，2）上的单调性，根据最值列方程即可求出a的值．

解答 解：∵f（x）是奇函数，x∈（-2，0）时，f（x）的最小值为1，
∴f（x）在（0，2）上的最大值为-1，
当x∈（0，2）时，f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
令f′（x）=0得x=$\frac{1}{a}$，又a＞$\frac{1}{2}$，∴0＜$\frac{1}{a}$＜2，
令f′（x）＞0，则x＜$\frac{1}{a}$，令f′（x）＜0，则x＞$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上递增，在（$\frac{1}{a}$，2）上递减，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$-a•$\frac{1}{a}$=-1，∴ln$\frac{1}{a}$=0，解得a=1．
故选：D．

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．