Question

11．如图，在底面半径和高均为2的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点．已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． $\frac{{\sqrt{10}}}{2}$

Answer 1

分析 如图所示，过点E作EF⊥AB，垂足为F．由于E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为2，可得OF=EF=1．OE=$\sqrt{2}$．在平面CED内建立直角坐标系．设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），F为抛物线的焦点．可得C（$\sqrt{2}$，2），代入解出即可．

解答 解：如图所示，过点E作EF⊥AB，垂足为F．
∵E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为2，
∴OF=EF=1．
∴OE=$\sqrt{2}$．
在平面CED内建立直角坐标系．
设抛物线的方程为y²=2px（p＞0），F为抛物线的焦点．
C（$\sqrt{2}$，2）
∴4=2$\sqrt{2}$p，解得p=$\sqrt{2}$．
F（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0）．
即点F为OE的中点，
∴该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故选：D．

点评 本题考查了圆锥的性质、抛物线的标准方程，考查了转变角度解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．