Question

20．设a=$\int_0^π$（sinx+cosx）dx，则二项式（${\root{3}{x}$-$\frac{1}{{a\sqrt{x}}}}$）⁶的展开式中含x²项的系数1．

Answer 1

分析 利用微积分基本定理可得a，再利用二项式定理的通项公式即可得出．

解答 解：a=$\int_0^π$（sinx+cosx）dx=$（-cosx+sinx）{|}_{0}^{π}$=2，
则二项式（${\root{3}{x}$-$\frac{1}{{a\sqrt{x}}}}$）⁶即$（\root{3}{x}-\frac{1}{2\sqrt{x}}）^{6}$的通项公式为：T_r+1=${∁}_{6}^{r}$$（\root{3}{x}）^{6-r}$$（-\frac{1}{2\sqrt{x}}）^{r}$=$（-\frac{1}{2}）^{r}$${∁}_{6}^{r}$${x}^{2-\frac{5}{6}r}$．
令2-$\frac{5}{6}r$=2，解得r=0．
∴展开式中含x²项的系数是1．
故答案为：1．

点评 本题考查了微积分基本定理、二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．