Question

15．今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行调査研究后发现，每一天中空气污染指数与f（x）时刻x（时）的函数关系为f（x）=|log₂₅（x+1）-a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈（0，1）．
（1）若a=$\frac{1}{2}$，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；
（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？

Answer 1

分析 （1）a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=|log₂₅（x+1）-$\frac{1}{2}$|+2，x∈[0，24]，令|log₂₅（x+1）-$\frac{1}{2}$|=0，解得x即可得出．
（2）令f（x）=|log₂₅（x+1）-a|+2a+1=$\left\{\begin{array}{l}{3a+1-lo{g}_{25}（x+1），x∈（0，2{5}^{a}-1]}\\{lo{g}_{25}（x+1）+a+1，x∈（2{5}^{a}-1，24]}\end{array}\right.$，再利用函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=|log₂₅（x+1）-$\frac{1}{2}$|+2，x∈[0，24]，
令|log₂₅（x+1）-$\frac{1}{2}$|=0，解得x=4，
因此：一天中第4个时刻该市的空气污染指数最低．
（2）令f（x）=|log₂₅（x+1）-a|+2a+1=$\left\{\begin{array}{l}{3a+1-lo{g}_{25}（x+1），x∈（0，2{5}^{a}-1]}\\{lo{g}_{25}（x+1）+a+1，x∈（2{5}^{a}-1，24]}\end{array}\right.$，
当x∈（0，25^a-1]时，f（x）=3a+1-log₂₅（x+1）单调递减，∴f（x）＜f（0）=3a+1．
当x∈[25^a-1，24）时，f（x）=a+1+log₂₅（x+1）单调递增，∴f（x）≤f（24）=a+1+1．
联立$\left\{\begin{array}{l}{3a+1≤3}\\{a+2≤3}\\{0＜a＜1}\end{array}\right.$，解得0＜a≤$\frac{2}{3}$．
可得a∈$（0，\frac{2}{3}]$．
因此调节参数a应控制在范围$（0，\frac{2}{3}]$．

点评 本题考查了对数函数的单调性及其应用，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．