Question

12．已知f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+6}$．
（1）若f（x）＞k的解集为（-∞，-6）∪（-1，+∞），求k的值；
（2）若对任意的x＞0，f（x）≤t恒成立，求实数t的范围．

Answer 1

分析 （1）将不等式f（x）＞k变形为关于x的二次不等式，结合三个二次关系可知与之对应的方程的根为-3，-2，由此可得到k的值；
（2）中将不等式f（x）≤t恒成立转化为求函数的最大值，求解时可借助于基本不等式性质求解

解答 （1）$-\frac{2}{5}$（2）$A（-c，\frac{{2\sqrt{3}}}{3}c）$
解：（1）f（x）＞k?kx²-02x+6k＜0，由已知其解集为{x|x＜-6或x＞-1}，
得x₁=-6，x₂=-1是方程kx²-2x+6k=0的两根，
所以-6-1=$\frac{2}{k}$，即k=-$\frac{2}{7}$．
（2）∵x＞0，f（x）=$\frac{2x}{{{x^2}+6}}$=$\frac{2}{{x+\frac{6}{x}}}$≤$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$（当且仅当x=$\sqrt{6}$时取“=”），
由已知f（x）≤t对任意x＞0恒成立，故t≥f（x）_max=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
所以，实数t的取值范围是[$\frac{\sqrt{6}}{6}$，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查三个二次之间的关系，考查基本不等式的应用，考查方程思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．