Question

已知点P（5，1）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的一点，F₁、F₂是椭圆的两个焦点，若△PF₁F₂的内切圆的半径为

1

3

，则此椭圆的离心率为

 

．

Answer 1

分析：由于△PF₁F₂的内切圆的半径为

1

3

，利用三角形的面积计算公式可得：

1

2

×

1

3

(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=

1

2

×|F1F2|×1，利用椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c．
即

2a+2c

3

=2c，解得即可．

解答：解：如图所示，
∵△PF₁F₂的内切圆的半径为

1

3

，利用三角形的面积计算公式可得：

1

2

×

1

3

(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=

1

2

×|F1F2|×1，
∵|PF₁|+|PF₂|=2a，|F₁F₂|=2c．
∴

2a+2c

3

=2c，
解得e=

c

a

=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查了三角形的内切圆的性质、三角形的面积计算公式、椭圆的定义及其性质，属于难题．