Question

设R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），当0≤x≤2时，f（x）=x²-2x，则当x∈[-4，-2]时，f（x）的最小值是

-

1

9

．

Answer 1

分析：定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），可得出f（x-2）=

1

3

f（x），由此关系求出求出x∈[-4，-2]上的解析式，再配方求其最值．

解答：解：解：由题意定义在R上的函数f（x）f（x）满足f（x+2）=3f（x），
任取x∈[-4，-2]，则f（x）=

1

3

f（x+2）=

1

9

f（x+4）
由于x+4∈[0，2]，当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x，
故f（x）=

1

3

f（x+2）
=

1

9

f（x+4）
=

1

9

[（x+4）²-2（x+4）]
=

1

9

[x²+6x+8]=

1

9

[（x+3）²-1]，x∈[-4，-2]
当x=-3时，f（x）的最小值是-

1

9

．
故答案为：-

1

9

．

点评：本题考查函数的最值及其几何意义，解题的关键是正确正解定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），且由此关系求出x∈[-4，-2]上的解析式，做题时要善于利用恒恒等式