Question

已知△ABC中，2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设向量

m

=（cosA，cos2A），

n

=(-

12

5

， 1)，求当

m

•

n

取最小值时，tan(A-

π

4

)值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和的正弦函数化简已知表达式，根据三角形的内角求出B的大小；
（Ⅱ）由

m

=（cosA，cos2A），n=(-

12

5

 ， 1)，化简

m

•

n

求出最小值时A的值，然后求出tanA，再求tan(A-

π

4

)值．

解答：解：（Ⅰ）因为2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB，
所以2sinAcosB=sin（B+C）=sin（π-A）=sinA．（3分）
因为0＜A＜π，所以sinA≠0．
所以cosB=

1

2

．（5分）
因为0＜B＜π，所以B=

π

3

．（7分）
（Ⅱ）因为

m

•

n

=- 

12

5

cosA+cos2A，（8分）
所以

m

•

n

=- 

12

5

cosA+2cos2A-1=2(cosA-

3

5

)2-

43

25

．（10分）
所以当cosA=

3

5

时，m•n取得最小值．
此时sinA=

4

5

（0＜A＜π），于是tanA=

4

3

．（12分）
所以tan(A-

π

4

)=

tanA-1

tanA+1

=

1

7

．（13分）

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，向量的数量积的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，注意角的范围与三角函数值的符号，考查计算能力．