Question

4．某刺猬有2006根刺，当它蜷缩成球时滚到平面上，任意相邻的三根刺都可以支撑住身体，且任意四根刺的刺尖不共面，问该刺猬蜷缩成球时，共有（　　）种不同的支撑身体的方式．

• A． 2006
• B． 4008
• C． 4012
• D． 2008

Answer 1

分析 由题意转化为，当有n根刺时有a_n种支撑法，n=4，5，6，…则a_n+1=a_n+3-1=a_n+2或a_n+1=a_n+4-2=a_n+2，求出通项公式，即可求出答案．

解答 解：当有n根刺时有a_n种支撑法，n=4，5，6，…
则a_n+1=a_n+3-1=a_n+2或a_n+1=a_n+4-2=a_n+2，
∴{a_n}，n=4，5，6，…，为等差数列，
∵a₄=4
∴a_n=2n-4
∴a₂₀₀₆=4008，
故选B

点评 本题考察学生数学建模能力，从n到n+1会增加多少种支撑，分两种情行讨论，一是所加剌穿过三剌尖确定的三角形，a_n+1=a_n+3-1=a_n+2，二是所加剌尖在两剌确定的平面上a_n+1=a_n+4-2由递推式求数列通项，属于中档题．