Question

1．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞0），且f（1）=-$\frac{a}{2}$．
（1）求证：函数f（x）有两个不同的零点；
（2）设x₁，x₂是函数f（x）的两个不同的零点，求|x₁-x₂|的取值范围；
（3）求证：函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．

Answer 1

分析 （1）根据f（1）=-$\frac{a}{2}$得出a，b，c的关系，计算判别式得出结论；
（2）根据根与系数的关系得出x₁+x₂，x₁x₂，利用公式|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$得出范围；
（3）讨论f（0），f（2），f（1）的符号，根据零点的存在性定理进行判断．

解答 解：（1）∵$f（1）=a+b+c=-\frac{a}{2}$，
∴$c=-\frac{3}{2}a-b$，∴$f（x）=a{x^2}+bx-\frac{3}{2}a-b$，
∴$△={b^2}-4a（-\frac{3}{2}a-b）={b^2}+6{a^2}+4ab={（2a+b）^2}+2{a^2}$，
∵a＞0，
∴△＞0恒成立，
故函数f（x）有两个不同的零点．
（2）由x₁，x₂是函数f（x）的两个不同的零点，
则x₁，x₂是方程f（x）=0的两个根．
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{b}{a}$，${x_1}{x_2}=-\frac{b}{a}-\frac{3}{2}$，
∴|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}+4（\frac{b}{a}+\frac{3}{2}）}$=$\sqrt{（\frac{b}{a}+2）^{2}+2}$≥$\sqrt{2}$．
∴|x₁-x₂|的取值范围是$[\sqrt{2}，+∞）$．
（3）证明：∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c，
由（1）知：3a+2b+2c=0，
∴f（2）=a-c．
（ⅰ）当c＞0时，有f（0）＞0，又∵a＞0，
∴$f（1）=-\frac{1}{2}＜0$，
∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点．
（ⅱ）当c≤0时，f（2）=a-c＞0，f（1）＜0，
∴函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点．
综上所述，函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．

点评 本题考查了二次函数的性质，根与系数的关系，零点的存在性定理，属于中档题．