Question

20．已知函数f（x）=-x²+2x+5，令g（x）=（2-2a）x-f（x）
（1）若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调增函数，求实数a的取值范围；
（2）求函数g（x）在x∈[0，2]的最小值．

Answer 1

分析 g（x）=x²-2ax-5的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，
（1）若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调增函数，则a≤0；
（2）分类讨论给定区间与对称轴x=a的关系，结合二次函数的图象和性质，可得结论．

解答 解：（1）∵f（x）=-x²+2x+5，
∴g（x）=（2-2a）x-f（x）=x²-2ax-5的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，
若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调增函数，
则a≤0----------------5
（2）∵g（x）=x²-2ax-5的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，
若a＜0，则当x=0时，函数g（x）取最小值-5，
若0≤a≤2，则当x=a时，函数g（x）取最小值-a²-5，
若a＞2，则当x=2时，函数g（x）取最小值-4a-15，

综上所述：g（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}-5，a＜0\\-{a}^{2}-5，0≤a≤2\\-4a-1，a＞2\end{array}\right.$．------------12

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．