题目内容

已知数列{a_n}是公差为正的等差数列，其前n项和为S_n，点（n，S_n）在抛物线 $数学公式$ 上；各项都为正数的等比数列{b_n}满足 $数学公式$ ．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记C_n=a_nb_n，求数列{C_n}的前n项和T_n．

解：（1）∵点（n，S_n）在抛物线 $\text{[math]}$ 上，
∴ $\text{[math]}$ ，
当n=1时，a₁=S₁=2
当n≥2时， $\text{[math]}$ ，
∴a_n=S_n-S_n-1=3n-1
∴数列{a_n}是首项为2，公差为3的等差数列，
∴a_n=3n-1
又∵各项都为正数的等比数列{b_n}满足 $\text{[math]}$ ，
设等比数列{b_n}的公比为q，
∴ $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ …（7分）
（2）由（1）可知 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ …①
∴ $\text{[math]}$ …②
②-①知∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）易得 $\text{[math]}$ ，令n=1可得首项a₁，当n≥2时可得a_n=S_n-S_n-1，代入可得通项，设等比数列{b_n}的公比为q，可建立关于b₁，q的方程组，解之可得；
（2）由（1）可得 $\text{[math]}$ ，由错位相减法可求和．
点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，涉及错位相减法求和，属基础题．

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