Question

已知F₁（-2，0），F₂（2，0），点P满足|PF₁|-|PF₂|=2，记点P的轨迹为E．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若直线l过点F₂且与轨迹E交于P、Q两点．
（i）无论直线l绕点F₂怎样转动，在x轴上总存在定点M（m，0），使MP⊥MQ恒成立，求实数m的值．
（ii）过P、Q作直线的垂线PA、OB，垂足分别为A、B，记，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据双曲线的定义，可判断所求轨迹为双曲线的右支，再分别求出双曲线中的a，b的值，就可得到轨迹E的方程．
（2）（i）先设出直线l的点斜式方程，根据l与轨迹E交于P、Q两点求出斜率k的范围．设出点P，Q的坐标，因为MP⊥MQ恒成立，所以恒有，再把用含P，Q．M点坐标的式子表示，根据即可求出m的值，在验证若直线l的斜率k不存在时，m的值仍然成立．
（ii）方法一：先判断是双曲线的右准线，利用双曲线的第二定义，把|PA|+|QB|用|PQ|表示，再用弦长公式计算|PQ|的长度，得到用P，Q横坐标表示的PA|+|QB|，|AB|也用A，B点的横坐标表示，这样中就可消掉
x₁，x₂，得到λ用含k的式子表示，再根据前面求出的k的范围，求出λ的范围即可．
方法二：和方法一类似，先把|PA|+|QB|用|PQ|表示，这样就可用直线PQ的倾斜角的三角函数表示，再根据前面求出的直线l的斜率k的范围求出倾斜角的范围即可．
解答：解：（1）由|PF₁|-|PF₂|=2＜|F₁F₂|知，点P的轨迹E是以F₁、F₂为焦点的双曲线右支，由c=2，2a=2，
∴b²=3，故轨迹E的方程为．
（2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），与双曲线方程联立消y得（k²-3）x²-4k²x+4k²+3=0，
∴
解得k²＞3
（i）∵
=（x₁-m）（x₂-m）+k²（x₁-2）（x₂-2）
=（k²+1）x₁x₂-（2k²+m）（x₁+x₂）+m²+4k²
=
=．
∵MP⊥MQ，
∴，
故得3（1-m²）+k²（m²-4m-5）=0对任意的k²＞3恒成立，
∴．
∴当m=-1时，MP⊥MQ．
当直线l的斜率不存在时，由P（2，3），Q（2，-3）及M（-1，0）知结论也成立，
综上，当m=-1时，MP⊥MQ．
（ii）∵a=1，c=2，
∴是双曲线的右准线，
由双曲线定义得：|PA|=，
方法一：∴=．
∵k²＞3，∴，
注意到直线的斜率不存在时，，
综上，．
方法二：设直线PQ的倾斜角为θ，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，
∴，过Q作QC⊥PA，垂足为C，则，
∴．
由，
故：．
点评：本题主要考查了定义法求轨迹方程，以及直线与双曲线相交位置关系的判断，弦长公式的应用．