Question

17．四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，其五个顶点都在同一球面上，若四棱锥P-ABCD的侧面积等于4（1+$\sqrt{2}$），则该外接球的表面积是（　　）

• A． 4π
• B． 12π
• C． 24π
• D． 36π

Answer 1

分析 将三视图还原为直观图，得四棱锥P-ABCD的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正方体的棱长为2，算出外接球半径R，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．

解答 解：设正方体棱长为a，则由四棱锥P-ABCD的侧面积等于4（1+$\sqrt{2}$），可得$2×\frac{1}{2}×a×a+2×\frac{1}{2}×a×\sqrt{2}a$=4（1+$\sqrt{2}$），∴a=2，设O是PC中点，则OA=OB=OC=OP=$\sqrt{3}$，
所以，四棱锥P-ABCD外接球球心与正方体外接球球心重合．
所以S=$4π•（\sqrt{3}）^{2}$=12π，
故选B

点评 本题主要考查了将三视图还原为直观图，并且求外接球的表面积，着重考查了正方体的性质、三视图和球内接多面体等知识，属于中档题．