Question

8．如图，在半径为2，圆心角为变量的扇形OAB内作一内切圆P，再在扇形内作一个与扇形两半径相切并与圆P外切的小圆Q，设圆P与圆Q的半径之积为y．
（1）按下列要求写出函数关系式：
①设∠AOB=2θ（0＜θ＜$\frac{π}{2}}$），将y表示成θ的函数；
②设圆P的半径x（0＜x＜1），将y表示成x的函数．
（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求y的最大值．

Answer 1

分析 （1）①设圆P与圆Q的半径分别为R、r．由R=（2-R）•sinθ得$R=\frac{2sinθ}{1+sinθ}$，由此能将y表示成θ的函数．
②圆Q的半径为r，由$\frac{r}{x}=\frac{2-2x-r}{2-x}$，能将y表示成x的函数．
（2）选择②：由y=-x³+x²（0＜x＜1）得y'=-3x²+2x（0＜x＜1），由此利用导数性质能求出y的最大值．

解答 解：（1）①如图，设圆P与圆Q的半径分别为R、r．
由R=（2-R）•sinθ得$R=\frac{2sinθ}{1+sinθ}$，
又$\frac{r}{R}=\frac{2-2R-r}{2-R}$，
∴$r=R-{R^2}=\frac{2sinθ}{1+sinθ}-{（\frac{2sinθ}{1+sinθ}）^2}=\frac{2sinθ•（1-sinθ）}{{{{（1+sinθ）}^2}}}$，
∴$y=r•R=\frac{{4{{sin}^2}θ（{1-sinθ}）}}{{{{（{1+sinθ}）}^3}}}（0＜θ＜\frac{π}{2}）$．（5分）
②圆Q的半径为r，由$\frac{r}{x}=\frac{2-2x-r}{2-x}$得r=x-x²，
∴y=r•x=-x³+x²（0＜x＜1）．（10分）
（2）选择②：由y=-x³+x²（0＜x＜1）得y'=-3x²+2x（0＜x＜1），
令y'＞0，得$0＜x＜\frac{2}{3}$； 令y'＜0，得$\frac{2}{3}＜x＜1$．
∴y=-x³+x²（0＜x＜1）在区间$（0，\frac{2}{3}）$上是增函数，在区间$（\frac{2}{3}，1）$上是减函数．
∴当$x=\frac{2}{3}$时，${y_{max}}=\frac{4}{27}$．（15分）

点评 本题考查函数解析式的求法，考查函数值的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．