Question

14．我市某苹果手机专卖店针对苹果6S手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：

付款方式	分1期	分2期	分3期	分4期	分5期
频数	35	25	a	10	b

已知分3期付款的频率为0.15，请以此100人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题：
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；
（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S手机，顾客分1期付款（即全款），其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用X表示销售一部苹果6S手机的利润，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意得$\frac{a}{100}=0.15$，由此能求出a，b．
（Ⅱ）设事件A为“购买一部手机的说名顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”，由题意得：随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.1，由此能求出“购买手机的3名顾客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率．
（Ⅲ）记分期付款的期数为ξ，依题意得P（ξ=1）=0.35，P（ξ=2）=0.25，P（ξ=3）=0.15，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15，X的可能取值为1000元，1500元，2000元，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答 解：（Ⅰ）由题意得$\frac{a}{100}=0.15$，∴a=15，
又35+25+a+10+b=100，
解得b=15．
（Ⅱ）设事件A为“购买一部手机的说名顾客中，恰好有1名顾客分4期付款”，
由题意得：随机抽取一位购买者，分4期付款的概率为0.1，
∴P（A）=${C}_{3}^{1}×0.1×0．{9}^{2}$=0.243．
（Ⅲ）记分期付款的期数为ξ，依题意得P（ξ=1）=0.35，
P（ξ=2）=0.25，P（ξ=3）=0.15，P（ξ=4）=0.1，P（ξ=5）=0.15，
∵X的可能取值为1000元，1500元，2000元，
P（X=1000）=P（ξ=1）=0.35，
P（X=1500）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.4，
P（X=2000）=P（ξ=4）+P（ξ=5）=0.25，
∴X的分布列为：

X	1000	1500	2000
P	0.35	0.4	0.25

∴EX=1000×0.35+1500×0.4+2000×0.25=1450．

点评 本题考查统计表的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．