Question

已知函数f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

．
（1）若对于任意的x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数k的取值范围；
（2）若f（x）的最小值为-2，求实数k的值；
（3）若对任意的x₁，x₂，x₃∈R，均存在以f（x₁），f（x₂），f（x₃）为三边长的三角形，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）问题等价于4^x+k•2^x+1＞0恒成立，分离出参数k后转化为求函数的最值问题即可；
（2）f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

=1+

k-1

2x+ 1 2x +1

，令t=2x+

1

2x

+1≥3，则y=1+

k-1

t

(t≥3)，分k＞1，k=1，k＜1三种情况进行讨论求出f（x）的最小值，令其为-2即可解得k值；
（3）由题意，f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）对任意x₁，x₂，x₃∈R恒成立．当k=1时易判断；当k＞1，k＜1时转化为函数的最值问题解决即可，借助（2）问结论易求函数的最值；

解答：解：（1）因为4^x+2^x+1＞0，所以f（x）＞0恒成立，等价于4^x+k•2^x+1＞0恒成立，即k＞-2^x-2^-x恒成立，
因为-2^x-2^-x=-（2^x+2^-x）≤-2，当且仅当2^x=2^-x即x=0时取等号，
所以k＞-2；
（2）f(x)=

4x+k•2x+1

4x+2x+1

=1+

k-1

2x+ 1 2x +1

，
令t=2x+

1

2x

+1≥3，则y=1+

k-1

t

(t≥3)，
当k＞1时，y∈(1，

k+2

3

]无最小值，舍去；
当k=1时，y=1最小值不是-2，舍去；
当k＜1时，y∈[

k+2

3

，1)，最小值为

k+2

3

=-2⇒k=-8，
综上所述，k=-8．
（3）由题意，f（x₁）+f（x₂）＞f（x₃）对任意x₁，x₂，x₃∈R恒成立．
当k＞1时，因2＜f(x1)+f(x2)≤

2k+4

3

且1＜f(x3)≤

k+2

3

，
故

k+2

3

≤2，即1＜k≤4；
当k=1时，f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=1，满足条件；
当k＜1时，

2k+4

3

≤f(x1)+f(x2)＜2且

k+2

3

≤f(x3)＜1，故1≤

2k+4

3

，解得-

1

2

≤k＜1；
综上所述，-

1

2

≤k≤4

点评：本题考查复合函数的单调性、函数恒成立、函数最值等问题，考查转化思想，综合性较强，难度较大．