Question

（本小题满分13分）已知椭圆C:的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程

（Ⅱ）若直线L：与椭圆C相交于A、B两点，且，求证：的面积为定值

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）设椭圆的方程，由离心率为找出关系再利用椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切求出b的值，从而求出椭圆的标准方程；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.

试题解析：（Ⅰ）由题意得，，，又，

联立解得，椭圆的方程为.

（Ⅱ）设，则A,B的坐标满足

消去y化简得，

， ，得

=。

，，即

即

=。O到直线的距离

=

== 为定值.

考点：（1）求椭圆的方程,（2）直线与椭圆的综合问题.