题目内容
若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值是（ ）
分析：由题意可得函数y=f（x-2）的图象关于y轴对称，于是y=f（x-2）是偶函数．根据偶函数的定义，采用比较系数法求出a=8且b=15，由此可得f（x）=-x4-8x3-14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（-∞，-2-
）、（-2，-2+
）上是增函数，在区间（-2-
，-2）、（-2+
，+∞）上是减函数，结合f（-2-
）=f（（-2+
）=16，即可得到f（x）的最大值．
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解答：解：∵函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=-2对称，
∴将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位，得函数y=f（x-2）的图象关于直线x=0对称，
∴f（x-2）=[1-（x-2）2][（x-2）2+a（x-2）+b]是偶函数．
设g（x）=f（x-2）=-x4+（8-a）x3+（12a-b-23）x2+（28-11a+4b）x+8a-4b，
∵g（-x）=g（x），
∴
，解之得a=8，b=15．
因此f（x）=（1-x2）（x2+8x+15）=-x4-8x3-14x2+8x+15，
求导数，得f'（x）=-4x3-24x2-28x+8．
令f'（x）=0，得x1=-2-
，x2=-2，x3=-2+
．
当x∈（-∞，-2-
）时，f'（x）＞0；当x∈（-2-
，-2）时，f'（x）＜0；
当x∈（-2，-2+
）时，f'（x）＞0； 当x∈（-2+
，+∞）时，f'（x）＜0．
∴f（x）在区间（-∞，-2-
）、（-2，-2+
）上是增函数，在区间（-2-
，-2）、（-2+
，+∞）上是减函数
又∵f（-2-
）=f（-2+
）=16，∴f（x）的最大值为16．
故选：D
∴将函数y=f（x）的图象向右平移2个单位，得函数y=f（x-2）的图象关于直线x=0对称，
∴f（x-2）=[1-（x-2）2][（x-2）2+a（x-2）+b]是偶函数．
设g（x）=f（x-2）=-x4+（8-a）x3+（12a-b-23）x2+（28-11a+4b）x+8a-4b，
∵g（-x）=g（x），
∴
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因此f（x）=（1-x2）（x2+8x+15）=-x4-8x3-14x2+8x+15，
求导数，得f'（x）=-4x3-24x2-28x+8．
令f'（x）=0，得x1=-2-
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当x∈（-∞，-2-
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当x∈（-2，-2+
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∴f（x）在区间（-∞，-2-
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又∵f（-2-
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故选：D
点评：本题给出多项式函数的图象关于x=-2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．
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