Question

10．已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，当x∈（0，1]且x₁≠x₂时，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0．给出下列命题
（1）f（1）=0        
（2）f（x）在[-2，2]上有4个零点
（3）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心
（4）x=2014是函数y=f（x）图象的一条对称轴．
则正确是（1）（3）．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性和周期性，单调性之间的关系，分别进行判断即可得到结论．

解答 解：∵对?x∈R都有f（x-1）=f（x+1）成立，
∴对?x∈R都有f（x+2）=f（x）成立，
即函数y=f（x）是周期为2的周期函数，
∴f（1）=f（-1）．
∵当x∈（0，1]且x₁≠x₂时，有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$＜0，
∴在区间（0，1]上函数为减函数．
又∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（1）=-f（-1）．
∴f（1）=0，即（1）正确；
满足条件的函数y=f（x）的草图如下所示：

由图可知：
f（x）在[-2，2]上有：-2，-1，0，1，2，共5个零点，即（2）错误；
所有（k，0）（k∈Z）点均为函数的对称中心，故（3）（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心，正确；
函数y=f（x）图象无对称轴，故（4）错误．
∴正确的命题是：（1）（3）．
故答案为：：（1）（3）．

点评 本题主要考查与函数性质有关的命题的真假判断，涉及函数的奇偶性，周期性，单调性和对称性，综合考查函数的性质的综合应用，是中档题．